三角関数の合成の証明

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[編集] 証明

asinx + bcosx = rsin(x + α)　となることを証明する。


座標が(a,b)である点をＰとし、OP＝rとする。

このとき、 r = \sqrt{a ^2 + b ^2} 　である。

ＯＰがx軸の正の向きとなす角をα とおくと、 a = rcosα で、b = rsinα である。

元の式の右辺に代入して、

\begin{align} a \sin x + b \cos x& = r\cos\alpha\sin x + r\sin\alpha\cos x \\ & = r(\cos\alpha\sin x + \sin\alpha\cos x) \\ & = r\sin (x + \alpha) \\ \end{align}

(ただし、α は\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a ^2 + b ^2}} と、\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a ^2 + b ^2}}　を同時に満たすものである。)

[編集] 利用方法

  • 周期が等しくて、二つの異なる三角関数　f(x)の和をひとつの三角関数にまとめることができ、主に　f(x)　の最大値・最小値を求めるときにつかわれる。
「http://ja.wikiversity.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E」より作成
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