シュレディンガーの波動方程式

シュレディンガー方程式の講座では、いわゆるミクロな粒子の運動方程式であるシュレディンガー方程式を導いて性質を調べる。という目的を持って行っていく。

導出

まず、ミクロな世界では粒子またはエネルギーは粒であるとともに波であることを述べた。そのことから、波束、$\psi (x,t)=A\exp (i(k_{0}x-\omega (k_0)t))({\frac{1}{1+\frac{2i\zeta }{{\delta }^2}t}}^{\frac{1}{2}}\exp (-\frac{(x-v_{0}t{)}^2}{2{\delta }^2(1+\frac{2i\zeta }{{\delta }^2}t}))$の重心が自由に運動している古典粒子の運動していると考えよう。この古典粒子は運動量p、運動エネルギー$E=\frac{p^2}{2m}$を持っていると仮定すると、粒子の速度$v=\frac{dE}{dp}=\frac{p}{m}$が波束の群速度と同義であることが要求されるべきであるから、群速度を$v_g=\frac{d\omega }{dk}$(1,1)なので、$v_g=\frac{p}{m}$が成り立たなければならなく、アインシュタインの関係が粒子の場合にも成り立つと仮定すると、$\omega =\frac{p^2}{2m\hslash }$(1,3)であるため、(1,1)と(1,3)が両立するためには運動量は$p=\hslash k=\frac{h}{k}$であれば良い。これをド・ブロイの関係式と呼ぶ。そして、普通の波束$\psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(k)e^{ikx-i\omega (k)t}dk$をpを使って書き換えると、$\psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{\hslash }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(\frac{p}{\hslash })e^{\frac{i}{\hslash }(px-Et)}dp$