シュレディンガーの波動方程式

シュレディンガー方程式の講座では、いわゆるミクロな粒子の運動方程式であるシュレディンガー方程式を導いて性質を調べる。という目的を持って行っていく。

導出

まず、ミクロな世界では粒子またはエネルギーは粒であるとともに波であることを述べた。そのことから、波束、$\psi (x,t)=A\exp(i(k_{0}x-\omega (k_{0})t))({1 \over 1+{\frac {2i\zeta }{\delta ^{2}}}t}^{\frac {1}{2}}\exp(-{\frac {(x-v_{0}t)^{2}}{2\delta ^{2}(1+{\frac {2i\zeta }{\delta ^{2}}}t}}))$の重心が自由に運動している古典粒子の運動していると考えよう。この古典粒子は運動量p、運動エネルギー$E={\frac {p^{2}}{2m}}$を持っていると仮定すると、粒子の速度$v={\frac {dE}{dp}}={\frac {p}{m}}$が波束の群速度と同義であることが要求されるべきであるから、群速度を$v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}$(1,1)なので、$v_{g}={\frac {p}{m}}$が成り立たなければならなく、アインシュタインの関係が粒子の場合にも成り立つと仮定すると、$\omega ={\frac {p^{2}}{2m\hbar }}$(1,3)であるため、(1,1)と(1,3)が両立するためには運動量は$p=\hbar k={\frac {h}{k}}$であれば良い。これをド・ブロイの関係式と呼ぶ。そして、普通の波束$\psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(k)e^{ikx-i\omega (k)t}dk$をpを使って書き換えると、$\psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }g({\frac {p}{\hbar }})e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)}dp$