数学I （すうがくいち）は、文部科学省 が告示した学習指導要領 に定められた、高等学校の数学の基礎となる科目である。
数学Iの趣旨・目標
この科目は，この科目だけで高等学校数学の履修を終える生徒と引き続き他の科目を履修する生徒の双方に配慮し、高等学校数学としてまとまりをもつとともに他の科目を履修するための基礎となるよう、（中略）四つの内容で構成した。これらの内容は，生徒が学習する際，中学校数学と円滑に接続できるよう、中学校数学の（中略）領域構成を継承したものでもある。
[ 1] 数と式、図形と計量、二次関数及びデータの分析について理解させ、基礎的な知識の習得と技能の習熟を図り、事象を数学的に考察する能力を培い、数学のよさを認識できるようにするとともに、それらを活用する態度を育てる。
[ 1] 第1章で学ぶのは数と式である。これは、中学校数学の数と式を発展させた単元である。
ある整数mと、0でない整数nを用いて、
m
n
{\displaystyle {\frac {m}{n}}}
有理数 という。例えばmは、
m
1
{\displaystyle {\frac {m}{1}}}
m
1
{\displaystyle {\frac {m}{1}}}
既約分数 という。
有理数は必ず小数で表すことが出来る。例えば
1
4
=
0.25
{\displaystyle {\frac {1}{4}}=0.25}
1
3
=
0.3333333333...
{\displaystyle {\frac {1}{3}}=0.3333333333...}
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
有限小数 、0.3333333333...のような、小数部分が無限の長さである小数を無限小数 という。また、特に0.3333333333...（
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
1
7
{\displaystyle {\frac {1}{7}}}
循環小数 といい、
0.
3
˙
{\displaystyle 0.{\dot {3}}}
0.
142857
¯
{\displaystyle 0.{\overline {142857}}}
また、有限小数と循環小数は必ず分数で表すことができ、有理数になることが知られている。
問1:有理数の判別
7
{\displaystyle 7}
−
397
{\displaystyle -397}
0
{\displaystyle 0}
π
{\displaystyle \pi }
1
7
{\displaystyle {\frac {1}{7}}}
0.
9
˙
{\displaystyle 0.{\dot {9}}}
有理数である数と、無限小数で表せる数を合わせて実数 という。また、実数のうち有理数でないものを無理数 という。あらゆる実数は、1つの数直線上に表すことが出来る。
ある数直線上にある点Pについて、原点からの距離を表す実数xを用いて、Pの位置を
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
絶対値 といい、|（絶対値記号）を用いて
|
x
|
{\displaystyle \left|x\right\vert }
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
|
x
|
{\displaystyle \left|x\right\vert }
x
{\displaystyle x}
|
x
|
{\displaystyle \left|x\right\vert }
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
|
x
|
{\displaystyle \left|x\right\vert }
2乗してaになる数を、aの平方根 という。正の数aの平方根は
a
{\displaystyle {\sqrt {a}}}
−
a
{\displaystyle -{\sqrt {a}}}
±
a
{\displaystyle \pm {\sqrt {a}}}
{\displaystyle {\sqrt {}}}
根号 という。
なお、
0
=
0
{\displaystyle {\sqrt {0}}=0}
根号を含む式の計算においては、次の公式が有用である。（a, b, xはともに0より大きいものとする）
a
b
=
a
b
{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}
a
b
=
a
b
{\displaystyle {\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}={\sqrt {\frac {a}{b}}}}
x
2
a
=
x
a
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}a}}=x{\sqrt {a}}}
分母を根号に含む式において、分母と分子に適当[ 注釈 1] 分母を有理化する という。例えば
2
3
{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}}
2
3
=
2
3
{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
2
3
(
3
)
2
=
6
3
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}{({\sqrt {3}})^{2}}}={\frac {\sqrt {6}}{3}}}
また、分母が根号を含む多項式になっている分数であるときは、
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
(
a
)
2
−
b
2
{\displaystyle ({\sqrt {a}}+b)({\sqrt {a}}-b)=({\sqrt {a}})^{2}-b^{2}}
[ 注釈 2]
例えば
1
4
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {4}}+1}}}
4
−
1
{\displaystyle {\sqrt {4}}-1}
4
−
1
(
4
+
1
)
(
4
−
1
)
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {4}}-1}{({\sqrt {4}}+1)({\sqrt {4}}-1)}}}
これの括弧や根号を外すと
2
−
1
4
−
1
{\displaystyle {\frac {2-1}{4-1}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
問2:分母の有理化
2
2
2
{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {2}}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}
10
5
{\displaystyle {\frac {10}{\sqrt {5}}}}
1
3
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}}
補足:なぜ分母を有理化するのか？
2
3
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}}
1.4142135...
1.7320508...
{\displaystyle {\frac {1.4142135...}{1.7320508...}}}
2.4494897...
3
{\displaystyle {\frac {2.4494897...}{3}}}
ある式
x
2
+
y
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
対称式 という。特に、ある数
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
+
y
{\displaystyle x+y}
x
y
{\displaystyle xy}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
基本対称式 という。
2
,
5
x
,
−
7
x
2
y
{\displaystyle 2,5x,-7x^{2}y}
単項式 といい、掛け合わせている文字の個数を次数 、文字でない部分の値を係数 という。例えば、
2
{\displaystyle 2}
−
7
x
2
y
{\displaystyle -7x^{2}y}
5
x
+
2
{\displaystyle 5x+2}
多項式 という[ 注釈 3] 項 という。多項式では、各項の次数のうちで最大のものをその多項式の次数として扱い、次数が
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
多項式において、着目する字（
x
{\displaystyle x}
定数項 という。定数項の次数は基本的に0である[ 注釈 4]
x
{\displaystyle x}
9
x
2
−
x
+
4
−
5
x
2
{\displaystyle 9x^{2}-x+4-5x^{2}}
9
x
2
{\displaystyle 9x^{2}}
−
5
x
2
{\displaystyle -5x^{2}}
同類項 という。同類項は、
9
x
2
−
5
x
2
=
4
x
2
{\displaystyle 9x^{2}-5x^{2}=4x^{2}}
多項式は、ある文字に着目して、次数の高い順に並べて整理することが多い。このような並べ方を、降べきの順 [ 注釈 5] 昇べきの順 [ 注釈 6]
問3:多項式の整理
x
{\displaystyle x}
3
x
+
2
x
{\displaystyle 3x+2x}
5
x
+
3
+
2
x
−
4
{\displaystyle 5x+3+2x-4}
4
x
+
2
(
3
x
−
7
)
{\displaystyle 4x+2(3x-7)}
2
x
2
+
8
−
2
x
−
3
+
x
{\displaystyle 2x^{2}+8-2x-3+x}
3
x
2
−
y
+
9
+
6
x
{\displaystyle 3x^{2}-y+9+6x}
補足:文字が2つ以上あるときの降べきの順
2
x
2
+
y
2
+
3
x
+
8
+
y
{\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+3x+8+y}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
2
x
2
+
3
x
+
y
2
+
8
+
y
{\displaystyle 2x^{2}+3x+y^{2}+8+y}
次に
y
{\displaystyle y}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
2
x
2
+
3
x
+
y
2
+
y
+
8
{\displaystyle 2x^{2}+3x+y^{2}+y+8}
これで、この多項式を整理することが出来た。このような整理の仕方を、
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
多項式の和や差を求めるには、同類項同士を計算すればよい。例えば、
4
x
2
+
x
+
7
{\displaystyle 4x^{2}+x+7}
x
2
−
5
x
+
3
{\displaystyle x^{2}-5x+3}
(
4
x
2
−
x
2
)
+
(
x
−
5
x
)
+
(
7
+
3
)
=
3
x
2
−
4
x
+
10
{\displaystyle (4x^{2}-x^{2})+(x-5x)+(7+3)=3x^{2}-4x+10}
一般に、
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
a
n
{\displaystyle a^{n}}
n
{\displaystyle n}
a
n
{\displaystyle a^{n}}
指数 という。
また、ある数の累乗である数について、次の指数法則が成り立つ。（次の式において
m
,
n
{\displaystyle m,n}
a
m
a
n
=
a
m
+
n
{\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}}
(
a
m
)
n
=
a
m
n
{\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}
(
a
b
)
m
=
a
n
b
n
{\displaystyle (ab)^{m}=a^{n}b^{n}}
多項式の積において、分配法則
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
{\displaystyle A(B+C)=AB+AC}
(
A
+
B
)
C
=
A
C
+
B
C
{\displaystyle (A+B)C=AC+BC}
展開する と言う。
多項式を展開するときには、次の4つの公式がよく利用される。
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}
(
x
+
a
)
(
x
+
b
)
=
x
2
+
(
a
+
b
)
x
+
a
b
{\displaystyle (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab}
(
a
x
+
b
)
(
c
x
+
d
)
=
a
c
x
2
+
(
a
d
+
b
c
)
x
+
b
d
{\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd}
これら5つの公式を合わせて、乗法公式 という。
問4:式の展開
2
(
x
+
3
)
{\displaystyle 2(x+3)}
(
x
+
2
)
2
{\displaystyle (x+2)^{2}}
(
2
x
−
1
)
2
{\displaystyle (2x-1)^{2}}
(
x
+
4
)
(
x
−
4
)
{\displaystyle (x+4)(x-4)}
(
x
+
1
)
(
x
−
7
)
{\displaystyle (x+1)(x-7)}
(
x
+
2
)
(
3
x
−
5
)
{\displaystyle (x+2)(3x-5)}
例えば
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle (a+b+c)(a+b-c)}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
A
{\displaystyle A}
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle (a+b+c)(a+b-c)}
(
A
+
c
)
(
A
−
c
)
{\displaystyle (A+c)(A-c)}
A
2
−
c
2
{\displaystyle A^{2}-c^{2}}
A
{\displaystyle A}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
(
a
+
b
)
2
−
c
2
{\displaystyle (a+b)^{2}-c^{2}}
a
2
+
2
a
b
+
b
2
−
c
2
{\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}}
このように、展開のしかたを工夫することで、簡単に展開ができる。
また、これに関連して、
(
a
+
b
+
c
)
2
{\displaystyle (a+b+c)^{2}}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
まず乗法公式より、
(
a
+
b
)
2
+
2
(
a
+
b
)
c
+
c
2
{\displaystyle (a+b)^{2}+2(a+b)c+c^{2}}
a
2
+
2
a
b
+
b
2
+
2
a
c
+
2
b
c
+
c
2
{\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}+2ac+2bc+c^{2}}
これを整理して、
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
+
2
b
c
+
2
c
a
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}
これは有名な展開の一つであるから、覚えておくとよい。
また、
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
+
2
b
c
+
2
c
a
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}
a
→
b
→
c
{\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c}
輪環の順 (りんかんのじゅん)に表記するという。
ある多項式
A
{\displaystyle A}
因数分解 するといい、それぞれの多項式を
A
{\displaystyle A}
因数 という。
因数分解には、分配法則の逆を用いる。
A
B
+
A
C
=
A
(
B
+
C
)
{\displaystyle AB+AC=A(B+C)}
A
C
+
B
C
=
(
A
+
B
)
C
{\displaystyle AC+BC=(A+B)C}
共通因数をくくりだす という。因数分解では、これが基本となる。
また、因数分解に使われる公式も乗法公式の逆の式である。
a
2
+
2
a
b
+
b
2
=
(
a
+
b
)
2
{\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}}
a
2
−
2
a
b
+
b
2
=
(
a
−
b
)
2
{\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}}
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
x
2
+
(
a
+
b
)
x
+
a
b
=
(
x
+
a
)
(
x
+
b
)
{\displaystyle x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)}
a
c
x
2
+
(
a
d
+
b
c
)
x
+
b
d
=
(
a
x
+
b
)
(
c
x
+
d
)
{\displaystyle acx^{2}+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)}
展開と同様に、そのままでは因数分解が難しい式でも工夫することで簡単に因数分解することが出来る。
例えば、展開の工夫で扱った
a
2
+
2
a
b
+
b
2
−
c
2
{\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}}
(
a
+
b
)
2
−
c
2
{\displaystyle (a+b)^{2}-c^{2}}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
A
2
−
c
2
{\displaystyle A^{2}-c^{2}}
(
A
+
c
)
(
A
−
c
)
{\displaystyle (A+c)(A-c)}
A
{\displaystyle A}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle (a+b+c)(a+b-c)}
また、2つ以上の文字(xとyなど)を含む多項式では、一番次数の低い文字に着目すると、因数分解がしやすくなる。
問5:因数分解
2
x
+
6
{\displaystyle 2x+6}
3
x
2
+
9
x
{\displaystyle 3x^{2}+9x}
x
2
−
4
{\displaystyle x^{2}-4}
x
2
+
2
x
+
1
{\displaystyle x^{2}+2x+1}
x
2
−
7
x
+
10
{\displaystyle x^{2}-7x+10}
実数の大小関係は、
<
{\displaystyle <}
>
{\displaystyle >}
≤
{\displaystyle \leq }
≥
{\displaystyle \geq }
不等式 という。また不等式のうち、次数が1であるもの(
x
>
0
{\displaystyle x>0}
1次不等式 という。
ある2つの実数
a
,
b
{\displaystyle a,b}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
a
=
b
{\displaystyle a=b}
a
>
b
{\displaystyle a>b}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
[ 注釈 7] [ 注釈 7]
ただし、0以下の数を掛けたり、割ったりすると両辺の大小関係は入れ替わる。
ここでは例として、
x
{\displaystyle x}
x
+
2
>
0
{\displaystyle x+2>0}
x
{\displaystyle x}
例えば
x
=
7
{\displaystyle x=7}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
x
=
−
2
{\displaystyle x=-2}
x
=
−
8
{\displaystyle x=-8}
x
=
7
{\displaystyle x=7}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
不等式の解 という[ 注釈 8] 不等式を解く という。
x
+
2
>
0
{\displaystyle x+2>0}
x
>
−
2
{\displaystyle x>-2}
x
>
2
{\displaystyle x>2}
また、不等式においても等式と同様に移項して解くことが出来るが、前述のとおり負の数を掛けたり、割ったりすると不等号の向きが入れ替わる(
>
{\displaystyle >}
<
{\displaystyle <}
2つ以上の不等式を組にしたものを連立不等式 といい、特に次数が1のものを連立1次不等式 という。また、それぞれ不等式の解の共通範囲を求めることを、連立不等式を解く という。
連立不等式を解く時は、数直線を利用すると比較的簡単に解くことが出来る。
問6:不等式
2
x
+
3
>
0
{\displaystyle 2x+3>0}
5
−
x
≤
2
{\displaystyle 5-x\leq 2}
4
x
+
1
>
3
x
−
2
{\displaystyle 4x+1>3x-2}
−
2
x
+
3
≥
1
{\displaystyle -2x+3\geq 1}
{
2
x
−
3
>
1
x
+
4
≤
10
{\displaystyle {\begin{cases}2x-3>1\\x+4\leq 10\end{cases}}}
{
−
2
x
+
1
≤
17
x
>
0
{\displaystyle {\begin{cases}-2x+1\leq 17\\x>0\end{cases}}}
{
x
+
6
≤
0
x
−
3
>
4
{\displaystyle {\begin{cases}x+6\leq 0\\x-3>4\end{cases}}}
ここでは、絶対値を含む不等式、つまり
|
x
|
<
2
{\displaystyle |x|<2}
|
x
|
≥
5
{\displaystyle |x|\geq 5}
絶対値を含む不等式については、一般に次のことが言える。
a
>
0
{\displaystyle a>0}
|
x
|
=
a
→
x
=
±
a
|
x
|
<
a
→
−
a
<
x
<
a
|
x
|
>
a
→
x
<
−
a
,
a
<
x
{\displaystyle {\begin{array}{lcr}|x|=a\to x=\pm a\\|x|<a\to -a<x<a\\|x|>a\to x<-a,a<x\\\end{array}}}
なお、
x
<
−
a
,
a
<
x
{\displaystyle x<-a,a<x}
x
<
−
a
{\displaystyle x<-a}
a
<
x
{\displaystyle a<x}
問1:有理数の判別 （問題 ）
① 有理数。(解説略)
π
{\displaystyle \pi }
1
7
{\displaystyle {\frac {1}{7}}}
0.
9
˙
{\displaystyle 0.{\dot {9}}}
1と等しいことが示されている から。
問2:分母の有理化 （問題 ）
①
2
{\displaystyle 2}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
2
5
{\displaystyle 2{\sqrt {5}}}
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
3
+
1
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}+1}{2}}}
3
+
1
{\displaystyle {\sqrt {3}}+1}
問3:多項式の整理 （問題 ）
①
5
x
{\displaystyle 5x}
7
x
−
1
{\displaystyle 7x-1}
10
x
−
14
{\displaystyle 10x-14}
2
x
2
−
x
+
5
{\displaystyle 2x^{2}-x+5}
3
x
2
+
6
x
−
y
+
9
{\displaystyle 3x^{2}+6x-y+9}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
6
x
{\displaystyle 6x}
9
{\displaystyle 9}
y
{\displaystyle y}
問4:式の展開 （問題 ）
①
2
x
+
6
{\displaystyle 2x+6}
x
2
+
4
x
+
4
{\displaystyle x^{2}+4x+4}
4
x
2
−
4
x
+
1
{\displaystyle 4x^{2}-4x+1}
x
2
−
16
{\displaystyle x^{2}-16}
x
2
−
6
x
−
7
{\displaystyle x^{2}-6x-7}
3
x
2
+
x
−
10
{\displaystyle 3x^{2}+x-10}
問5:因数分解 （問題 ）
①
2
(
x
+
3
)
{\displaystyle 2(x+3)}
3
x
(
x
+
3
)
{\displaystyle 3x(x+3)}
(
x
+
2
)
(
x
−
2
)
{\displaystyle (x+2)(x-2)}
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle (x+1)^{2}}
(
x
−
2
)
(
x
−
5
)
{\displaystyle (x-2)(x-5)}
[ 注釈 9]
問6:不等式 （問題 ）
①
x
>
−
3
2
{\displaystyle x>-{\frac {3}{2}}}
x
≥
3
{\displaystyle x\geq 3}
x
>
−
3
{\displaystyle x>-3}
x
{\displaystyle x}
x
≤
1
{\displaystyle x\leq 1}
−
1
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
2
<
x
≤
6
{\displaystyle 2<x\leq 6}
x
>
2
{\displaystyle x>2}
x
≤
6
{\displaystyle x\leq 6}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
x
≥
−
8
{\displaystyle x\geq -8}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
x
≤
−
6
{\displaystyle x\leq -6}
x
>
7
{\displaystyle x>7}
第2章では、数学上非常に重要な集合 と命題 、そして基本的な証明について取り扱う。
ある数の集まりのうち、それに属しているか属していないかを区別できる集まりのことを、集合 という。集合は、
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
集合に含まれる1つ1つのものを、その集合の要素 [ 注釈 10]
a
{\displaystyle a}
A
{\displaystyle A}
a
{\displaystyle a}
A
{\displaystyle A}
属する といい、
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
A
∋
a
{\displaystyle A\ni a}
b
{\displaystyle b}
b
∉
A
{\displaystyle b\not \in A}
A
∌
b
{\displaystyle A\not \ni b}
集合を表すとき、主に次の2種類の表し方がある。
(1)集合の要素を書き並べて表す[ 注釈 11] [ 注釈 12]
(2)要素の満たす条件を述べて表す[ 注釈 13] 例えば、6以下の自然数の集合を考える。これを(1)の方法で表すと、
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle \left\{1,2,3,4,5,6\right\}}
となる。
(2)の方法で表すと、
{
x
|
x
=
n
}
{\displaystyle \left\{x|x=n\right\}}
[ 注釈 14]
{
n
|
1
≤
n
≤
6
}
{\displaystyle \left\{n|1\leq n\leq 6\right\}}
[ 注釈 15] など、様々な表し方がある。
補足:集合を表す様々な文字
一部の集合については、次のような文字で表すことが多い。
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
例えば、
2
,
8
∈
N
{\displaystyle 2,8\in \mathbb {N} }
−
7
,
−
3
4
,
0
,
2
∈
Q
{\displaystyle -7,-{\frac {3}{4}},0,2\in \mathbb {Q} }
一般に、ある集合
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
部分集合 であるといい、
A
⊂
B
{\displaystyle A\subset B}
B
⊃
A
{\displaystyle B\supset A}
[ 注釈 16]
A
⊂
B
{\displaystyle A\subset B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
また、
A
⊂
B
{\displaystyle A\subset B}
B
⊂
A
{\displaystyle B\subset A}
[ 注釈 17]
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
等しい といい、
A
=
B
{\displaystyle A=B}
補足:部分集合と真部分集合
先ほど述べたように、
A
=
B
{\displaystyle A=B}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
A
≠
B
{\displaystyle A\neq B}
数学においては、
A
⊂
B
{\displaystyle A\subset B}
A
≠
B
{\displaystyle A\neq B}
真部分集合 であるといい、
A
⫋
B
{\displaystyle A\subsetneqq B}
A
⊊
B
{\displaystyle A\varsubsetneq B}
[ 注釈 18]
2つの集合
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
共通部分 といい、
A
∩
B
{\displaystyle A\cap B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
和集合 といい、
A
∪
B
{\displaystyle A\cup B}
例えば、自然数全体の集合
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
A
=
{
x
|
x
<
10
}
{\displaystyle A=\{x|x<10\}}
A
{\displaystyle A}
B
=
{
x
|
x
≥
2
}
{\displaystyle B=\{x|x\geq 2\}}
A
{\displaystyle A}
A
∩
B
=
{
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
{\displaystyle A\cap B=\{2,3,4,5,6,7,8,9\}}
A
∪
B
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
.
.
.
}
{\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,...\}}
となる。
自然数全体の集合と、負の整数全体の集合の共通部分のように、要素を1つも持たない集合のことを空集合 と言い、∅ または
∅
{\displaystyle \emptyset }
[ 注釈 19]
集合について考えるとき、ある集合
U
{\displaystyle U}
U
{\displaystyle U}
全体集合 といい、主に
U
{\displaystyle U}
U
{\displaystyle U}
U
{\displaystyle U}
補集合 といい、
A
¯
{\displaystyle {\overline {A}}}
例えば先ほどの例においては、
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
A
{\displaystyle A}
A
¯
{\displaystyle {\overline {A}}}
B
{\displaystyle B}
B
¯
{\displaystyle {\overline {B}}}
発展:ツェルメロ=フレンケル集合論
ツェルメロ＝フレンケル集合論（略:ZF公理系、ZFC公理系など）とは、ドイツの数学者エルンスト・ツェルメロ が提唱した、公理系 のことである。大学数学の「数学基礎論」の一分野である「集合論」で取り扱う。
集合
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
=
B
{\displaystyle A=B}
外延性の公理 や、
空集合でない集合は必ず自分自身に交わらない要素を持つという正則性公理 など、10つのw:公理 からなる。詳細はw:ツェルメロ＝フレンケル集合論 を参照のこと。
一般に、集合について次の法則が成り立つ。
A
∪
B
¯
=
A
¯
∩
B
¯
{\displaystyle {\overline {A\cup B}}={{\overline {A}}\cap {\overline {B}}}}
A
∩
B
¯
=
A
¯
∪
B
¯
{\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}
これを、ド・モルガンの法則 という。
数学において、正しいか正しくないかが決まる文章や式のことを命題 (proposition
命題が正しい時、命題が真 である、または成り立つ といい、正しくないとき命題が偽 である、または成り立たない という。
また、
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
条件 という。
一般に、命題はある2つの条件
p
,
q
{\displaystyle p,q}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
q
⇒
q
{\displaystyle q\Rightarrow q}
ある命題
p
⇒
q
{\displaystyle p\Rightarrow q}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
反例 という。
また、ある条件
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
否定 といい、
p
¯
{\displaystyle {\overline {p}}}
補足:「または」と「かつ」の否定
ある条件
p
,
q
{\displaystyle p,q}
P
,
Q
{\displaystyle P,Q}
U
{\displaystyle U}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
P
∩
Q
{\displaystyle P\cap Q}
q
{\displaystyle q}
q
{\displaystyle q}
P
∪
Q
{\displaystyle P\cup Q}
の否定である
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
P
∩
Q
¯
{\displaystyle {\overline {P\cap Q}}}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
P
∪
Q
¯
{\displaystyle {\overline {P\cup Q}}}
は、ド・モルガンの法則より次のように表せる。
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
P
¯
∪
Q
¯
{\displaystyle {\overline {P}}\cup {\overline {Q}}}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
P
¯
∩
Q
¯
{\displaystyle {\overline {P}}\cap {\overline {Q}}}
一般に、2つの条件
p
,
q
{\displaystyle p,q}
p
⇒
q
{\displaystyle p\Rightarrow q}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
十分条件 である。
q
{\displaystyle q}
p
{\displaystyle p}
必要条件 である。また、
p
⇒
q
{\displaystyle p\Rightarrow q}
q
⇒
p
{\displaystyle q\Rightarrow p}
p
⇔
q
{\displaystyle p\Leftrightarrow q}
p
,
q
{\displaystyle p,q}
同値 である。
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
必要十分条件 である。
q
{\displaystyle q}
p
{\displaystyle p}
p
⇔
q
{\displaystyle p\Leftrightarrow q}
P
,
Q
{\displaystyle P,Q}
P
=
Q
{\displaystyle P=Q}
例えば、
x
2
=
1
{\displaystyle x^{2}=1}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
x
2
=
1
⇒
x
=
1
{\displaystyle x^{2}=1\Rightarrow x=1}
P
1
{\displaystyle P_{1}}
x
=
1
⇒
x
2
=
1
{\displaystyle x=1\Rightarrow x^{2}=1}
P
2
{\displaystyle P_{2}}
を考える。
P
1
{\displaystyle P_{1}}
[ 注釈 20]
P
2
{\displaystyle P_{2}}
x
2
=
1
{\displaystyle x^{2}=1}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
x
2
=
1
{\displaystyle x^{2}=1}
ある命題
p
⇒
q
{\displaystyle p\Rightarrow q}
p
⇐
q
{\displaystyle p\Leftarrow q}
p
⇒
q
{\displaystyle p\Rightarrow q}
逆
p
¯
⇒
q
¯
{\displaystyle {\overline {p}}\Rightarrow {\overline {q}}}
p
⇒
q
{\displaystyle p\Rightarrow q}
裏
p
¯
⇐
q
¯
{\displaystyle {\overline {p}}\Leftarrow {\overline {q}}}
p
⇒
q
{\displaystyle p\Rightarrow q}
対偶 という。
また一般に、次のことが言える。
命題
p
⇒
q
{\displaystyle p\Rightarrow q}
命題と、その対偶の真偽は一致する。 ある命題に対して、その命題が成り立たないと仮定し、矛盾が生じることを示すことで求め偉大を証明する方法がある。このような証明方法を背理法 という。
例えば、三角形には必ず2つ以上の鋭角[ 注釈 21]
補足:「任意の」
数学には、「任意の 」（arbitrary any , all [ 注釈 22]
↑ ここでいう適当とは、相応しいという意である。
↑ 後述の乗法公式
↑ 整式 ともいう。↑ ただし、0の次数は考えない（定義されていない）
↑ 降冪の順
↑ 昇冪の順
↑ 7.0 7.1 ただし、0より大きい実数について。
↑ 不等式のすべての解の集まりを不等式の解ということもある。
↑
(
x
−
5
)
(
x
−
2
)
{\displaystyle (x-5)(x-2)}
↑ 元 （げん）とも。↑ これを外延的記法 という。
↑ 集合の要素全てを書き並べる必要はなく、…などを用いて省略することが出来る。
↑ これを内包的記法 という。
↑ ただし、
n
{\displaystyle n}
1
≤
x
≤
6
{\displaystyle 1\leq x\leq 6}
↑ ただし、
n
{\displaystyle n}
↑
A
=
B
{\displaystyle A=B}
⊆
{\displaystyle \subseteq }
⊇
{\displaystyle \supseteq }
⊂
{\displaystyle \subset }
⊃
{\displaystyle \supset }
↑
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
B
⊆
A
{\displaystyle B\subseteq A}
↑
A
⊈
B
{\displaystyle A\nsubseteq B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
↑ ギリシャ文字のΦ（ファイ）を用いて表すこともある。
↑
x
=
1
{\displaystyle x=1}
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
↑ 0°より大きく90度より小さい角
↑ たいていの場合ではall に変換できるが、文脈によっては変換できないので注意を要する。
↑ 1.0 1.1 『高等学校学習指導要領解説 数学編 』文部科学省、2009年11月（一部改変）
