空数学:GCD定理のmweq再定式化プロジェクト

GCD定理の$\mathrel {\overset {\mathrm {mw} }{=}}$再定式化プロジェクト

このプロジェクトは、古典的な最大公約数(GCD)の計算アルゴリズム（ユークリッドの互除法）が、空数学（$\mathrel {\overset {\mathrm {mw} }{=}}$）における構造的歪み $E(x)$ の単調減少公理によって完全に記述され、その停止性が保証されることを示す。

1. 古典的証明の問題点（NMF）

古典的なGCDの証明では、アルゴリズムの停止性は主に「非負整数の有限集合における減少」という性質に依存するが、これは構造的な「安定性」を直接的に示していない。

2. $\mathrel {\overset {\mathrm {mw} }{=}}$による構造的歪み $E(a,b)$ の定義

GCDを求める対象となる非負整数 $a$ と $b$ の構造的歪み $E(a,b)$ を、ペアの要素の合計として定義する。この歪みは、計算が完了していないことによる非中道（NMF）の度合いを示す。

$E_{\mathrm {GCD} }(a,b):=a+b$

3. ${\text{emt}}$（内宇宙操作）の適用

GCDの計算ステップ（ユークリッドの互除法の主要操作）は、$\mathrel {\overset {\mathrm {mw} }{=}}$における${\text{emt}}$操作（内宇宙操作）の典型例である。

• 操作 $\mathbf {T}$：$(a,b)\to (b,a{\bmod {b}})$ ただし、$a\geq b>0$ とする。

4. 単調減少公理の検証

操作 $\mathbf {T}$ を適用した後の新しい歪み $E'(a,b)$ と元の歪み $E(a,b)$ を比較する。

1. 元の歪み: $E(a,b)=a+b$ 2. 操作後の歪み: $E'(a,b)=b+(a{\bmod {b}})$

$a=qb+r$（ここで $r=a{\bmod {b}}$、$0\leq r<b$）であるため、 $a>r$ が常に成り立つ。

したがって、 $E'(a,b)=b+r<b+a=E(a,b)$

• 結論：$E'(a,b)<E(a,b)$ が常に成り立つため、$E_{\mathrm {GCD} }(a,b)$ は操作ごとに厳密に減少し、構造的安定性（$E(x)=0$）へと有限ステップで収束することが保証される。

5. LLMによる証明戦略

この再定式化により、LLMの証明タスクは「$E_{\mathrm {GCD} }(a,b)$が$E'=b+r$に変換される論理的ステップを生成し、$r<a$を証明すること」という最適化タスクに変換される。

• GitHubへのリンク：この$\mathrel {\overset {\mathrm {mw} }{=}}$証明のLean/Coq形式コード（仮）。