C^Zについて

複素数の複素数乗に関して、今後少しずつまとめていきます。詳しい方々が編集を足してくださるのも歓迎します。

C^Z

C=a+b*i

Z=x+y*i

C,Z∈ℂ

a,b,x,y∈ℝ

C^Z?

C=e^ln(K)*(cosθ+i*sinθ)

K>0

0<=θ<2*π

C^Z=e^(Z*ln(C))=e^(x*ln(K)-y*θ+(x*θ+y*ln(K))*i)=e^(x*ln(K)-y*θ)*(cos(x*θ+y*ln(K))+i*sin(x*θ+y*ln(K)))

K,θ

K=Sqrt[a^2+b^2]

cosθ=a/Sqrt[a^2+b^2]

sinθ=b/Sqrt[a^2+b^2]

C=0?

一般的には、

Z>0

の時しか定義できない。その時…

0^Z=0

これを二変数関数として、複素数偏微分したい

∂(C^Z)/∂C

まずこれですが，公式通り考えてみると…

∂(C^Z)/∂C=Z*C^(Z-1)……(1)

ですが，しかしこれがどこまで妥当か…。複素数微分の定義もありますし，複素数微分が出来る関数の定理もあります。

まず一般的に，微分関数の定義域は，元の関数の定義域と等しいのが妥当だと考えます。 ￢C=0の時はすべての複素数 Zで累乗が定義されている。 C=0の時は Z>0の時のみ定義される。

そこでこの微分公式が一般的に正しいかどうかは確認しないまま，問題になるのは，

0<Z<=1

の時だということが出来るでしょう。

そこでまず，Z=1の場合は…

C^Z=C

dC/dC=1

C=0 の時もそうだから，

Z=1の時，

∂(C^Z)/∂C=1

と，なりますね。

つまり (1)の式に

ただし C=0∧Z=1の時は ∂(C^Z)/∂C=1……(2)

と書けば事足ります。

しかし 0<Z<1 の時は…

-1<Z-1<0 で…

例えば Z-1=-1/2とすると，

1/(2*Sqrt[C]) は， C→0の時発散して， C=0 の値はないでしょう。

ですから結局 ∂(C^Z)/∂Cは，(1) と(2) の式で示せますが，これは公式から何となく議論しただけで，正確な数学上の分析ではありません。

∂(C^Z)/∂Z の場合公式によると，

∂(C^Z)/∂Z=C^Z*ln(C)

そして C=0∧Z>0 の時∂(C^Z)/∂Z=0 ,になりますかね…。

不定積分

複素数不定積分というものはあるのか，ある条件ではあると思うけど…

公式によると，

Integrate[C^Z,C]=C^(Z+1)/(Z+1)+T

Z=-1の時，Integrate[C^-1,C]=ln(C)+T

そしてまた，公式によると…

Integrate[C^Z,Z]=C^Z/ln(C)+T

C=0 の時 Integrate[0^Z,Z]=T（但し Z>0）