√2が無理数であることの証明

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証明[編集]

背理法を用いて、証明する。

が有理数であると仮定する。この時、は互いに素である数を用いて、と表すことができる。

両辺を平方すると、となり、さらに、と変形することができる。

証明1[編集]

ここで、は偶数であり、は4の倍数である。すなわち、も偶数になり、は偶数になる。が少なくとも2で割り切ることができてしまい、互いに素でなくなってしまう。ここで、最初の仮定が間違っていたことがわかる。

よって、は無理数である。

証明2[編集]

両辺の素因数の個数を考える。

個の素因数を、個の素因数を持つと仮定すると、

両辺のの素因数の個数の関係はと表される。

ここで、のどちらかが整数でなくなり、これは、素因数の個数は整数個であることに反する。ここで、最初の仮定が間違っていたことがわかる。

よって、は無理数である。

補足[編集]

ここでは、素因数分解の一意性を用いている。なお、一般的に「小数個/分数個」ということはありえない。