2個の集合 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} において、 ( A ∪ B ) c = A c ∩ B c {\displaystyle (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}} , ( A ∩ B ) c = A c ∪ B c {\displaystyle (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}} となることを証明する。( A c {\displaystyle A^{c}} は A {\displaystyle A} の補集合を表す。)
X ∈ ( A ∪ B ) c ⇔ X ∉ A ∪ B ⇔ X ∉ A a n d X ∉ B ⇔ X ∈ A c a n d X ∈ B c ⇔ X ∈ A c ∩ B c {\displaystyle {\begin{aligned}X\in (A\cup B)^{c}&\Leftrightarrow X\notin A\cup B\\&\Leftrightarrow X\notin AandX\notin B\\&\Leftrightarrow X\in A^{c}andX\in B^{c}\\&\Leftrightarrow X\in A^{c}\cap B^{c}\end{aligned}}} したがって、 ( A ∪ B ) c = A c ∩ B c {\displaystyle (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}} ・・・①
①より、 ( P ∪ Q ) c = P c ∩ Q c ( P ∪ Q ) c c = ( P c ∩ Q c ) c = P ∪ Q {\displaystyle {\begin{aligned}(P\cup Q)^{c}&=P^{c}\cap Q^{c}\\{(P\cup Q)^{c}}^{c}&=(P^{c}\cap Q^{c})^{c}\\&=P\cup Q\end{aligned}}} A := P c , B := Q c {\displaystyle A:=P^{c},B:=Q^{c}} とすれば、 ( A ∩ B ) c = A c ∪ B c {\displaystyle (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}}
