△ A B C {\displaystyle \bigtriangleup {ABC}} において、 A B = c {\displaystyle AB=c} , B C = a {\displaystyle BC=a} , C A = b {\displaystyle CA=b} とすると、 S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} ただし、 s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} となることを証明する。
AからBCに垂線を引き、その垂線の足をDとする。また、 A D = h {\displaystyle AD=h} , B D = d {\displaystyle BD=d} とする。
△ A B D {\displaystyle \bigtriangleup {ABD}} において、三平方の定理より、 h 2 = c 2 − d 2 {\displaystyle h^{2}=c^{2}-d^{2}} ・・・①
△ A C D {\displaystyle \bigtriangleup {ACD}} において、三平方の定理より、 h 2 = b 2 − ( a − d ) 2 {\displaystyle h^{2}=b^{2}-(a-d)^{2}} ・・・②
① , ②より、 c 2 − d 2 = b 2 − ( a − d ) 2 c 2 − d 2 = b 2 − a 2 + 2 a d − d 2 d = a 2 − b 2 + c 2 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-d^{2}&=b^{2}-(a-d)^{2}\\c^{2}-d^{2}&=b^{2}-a^{2}+2ad-d^{2}\\d&={\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}}\end{aligned}}}
この式を①に代入して、 h 2 = c 2 − ( a 2 − b 2 + c 2 2 a ) 2 = ( c + a 2 − b 2 + c 2 2 a ) ( c − a 2 − b 2 + c 2 2 a ) {\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=c^{2}-({\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}})^{2}\\&=(c+{\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}})(c-{\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}})\end{aligned}}}
両辺に 4 a 2 {\displaystyle 4a^{2}} をかけて、 4 a 2 h 2 = ( 2 a c + a 2 − b 2 + c 2 ) ( 2 a c − a 2 + b 2 − c 2 ) 4 a 2 h 2 = ( ( a + c ) 2 − b 2 ) ( b 2 − ( a − c ) 2 ) 4 a 2 h 2 = ( a + c + b ) ( a + c − b ) ( b + a − c ) ( b − a + c ) a h 2 = ( a + c + b ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) ( − a + b + c ) 4 {\displaystyle {\begin{aligned}4a^{2}h^{2}&=(2ac+a^{2}-b^{2}+c^{2})(2ac-a^{2}+b^{2}-c^{2})\\4a^{2}h^{2}&=((a+c)^{2}-b^{2})(b^{2}-(a-c)^{2})\\4a^{2}h^{2}&=(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)\\{\frac {ah}{2}}&={\frac {\sqrt {(a+c+b)(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)}}{4}}\end{aligned}}}
この時、 s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} とすると、 a h 2 = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle {\frac {ah}{2}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
