半径 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} の円に内接する正十二角形を考える。 この円の円周は、 2 π r = π {\displaystyle 2\pi r=\pi } このとき、正十二角形の一辺の長さをaとすると、余弦定理より a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos 30 ∘ = 1 2 2 + 1 2 2 − 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 2 ⋅ 3 2 = 1 4 + 1 4 − 3 4 = 2 − 3 4 {\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos 30^{\circ }\\&={\frac {1}{2}}^{2}+{\frac {1}{2}}^{2}-2\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\\&={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}\\&={\frac {2-{\sqrt {3}}}{4}}\end{aligned}}} したがって、 a = 2 − 3 4 = 2 − 3 2 {\displaystyle a={\sqrt {\frac {2-{\sqrt {3}}}{4}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}} 正十二角形の周の長さは 12 a = 6 2 − 3 {\displaystyle 12a=6{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}} また、円の円周の長さは正十二角形の周の長さより長い。 6 2 − 3 < π {\displaystyle 6{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}<\pi } 両辺を2乗して、 36 ⋅ ( 2 − 3 ) < π 2 {\displaystyle 36\cdot (2-{\sqrt {3}})<\pi ^{2}} 72 − 36 3 = 36 ⋅ ( 2 − 3 ) < π 2 {\displaystyle 72-36{\sqrt {3}}=36\cdot (2-{\sqrt {3}})<\pi ^{2}} 1.73 < 3 < 1.74 {\displaystyle 1.73<{\sqrt {3}}<1.74} とすると、 72 − 36 ⋅ 1.74 < 36 ⋅ ( 2 − 3 ) < π 2 {\displaystyle 72-36\cdot 1.74<36\cdot (2-{\sqrt {3}})<\pi ^{2}} 9.36 < 36 ⋅ ( 2 − 3 ) < π 2 {\displaystyle 9.36<36\cdot (2-{\sqrt {3}})<\pi ^{2}} 3.05 2 = 9.3025 < 9.36 < 36 ⋅ ( 2 − 3 ) < π 2 {\displaystyle 3.05^{2}=9.3025<9.36<36\cdot (2-{\sqrt {3}})<\pi ^{2}} よって、 3.05 < π {\displaystyle 3.05<\pi } Q . E . D {\displaystyle Q.E.D}
