円周率が3.05より大きいことの証明

この問題は、2003年の東京大学の入試問題として出題されました。

証明

円に内接する正十二角形

半径${\frac {1}{2}}$の円に内接する正十二角形を考える。 この円の円周は、$2\pi r=\pi$
このとき、正十二角形の一辺の長さをaとすると、余弦定理より
${\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos 30^{\circ }\\&={\frac {1}{2}}^{2}+{\frac {1}{2}}^{2}-2\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\\&={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}\\&={\frac {2-{\sqrt {3}}}{4}}\end{aligned}}$
したがって、
$a={\sqrt {\frac {2-{\sqrt {3}}}{4}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}$
正十二角形の周の長さは$12a=6{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$
また、円の円周の長さは正十二角形の周の長さより長い。
$6{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}<\pi$
両辺を2乗して、$36\cdot (2-{\sqrt {3}})<\pi ^{2}$
$72-36{\sqrt {3}}=36\cdot (2-{\sqrt {3}})<\pi ^{2}$
$1.73<{\sqrt {3}}<1.74$とすると、
$72-36\cdot 1.74<36\cdot (2-{\sqrt {3}})<\pi ^{2}$
$9.36<36\cdot (2-{\sqrt {3}})<\pi ^{2}$
$3.05^{2}=9.3025<9.36<36\cdot (2-{\sqrt {3}})<\pi ^{2}$
よって、$3.05<\pi$
$Q.E.D$

さらに学びたい方へ

• 円周率が3.05より大きいことのいろいろな証明 - 高校数学の美しい物語