利用者:Knotopologynn/組合せ数学

"組合せ数学"に関連して

現在までの組合せに関する数学の理論には，組合せそのものの実体を網羅して書き出すために用いる計算式としての数式が存在しない。したがって，辞書 や解説書 などの，どこにも数式が記述されていない。 コンピュータを用いて計算するためのプログラムは数多く存在するが，これらのプログラムは計算式として用いるための数式ではない。

繰り返しを許さない組合せ

ここでの組合せとは、組合せ数学における繰り返しを許さない組合せを意味する。 以下では，繰り返しを許さない組合せに関してのみ記述する。

以下で，組合せそのものの実体を網羅して書き出すために，計算式として用いる数式を示す。

組合せの各組全体を全て算出できる数式

組合せ数学では，組合せの数に関して論じることが多い。しかし，ここでは組合せの数（総数）そのものに関する議論は行わない。 ここで記述するのは，組合せの全体を全て算出できる数式についてである。

現在まで組合せを論ずる数学の分野に，組合せの各組について， その全体を算出するための数式に関しての記述はなく，数式そのものの存在も明らかにはされていない。

このような現状を打開すべく，ここに組合せの全体を全て算出できる数式を独自に導出してあるので，これを以下に示す。

まず，組合せの要素を正の整数(1, 2, . . .)，または，b₁, b₂, . . . で表示し，組合せを〈1, 2, . . .〉または，〈b₁, b₂, . . .〉で表示する。

以下で，組合せの全体を全て算出できる数式の一般項を示す。

• $\,\,$$\langle \,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},\ldots ,b_{r}\,\rangle ,$$\,\,$（組合せの表示）
• $\,\,$$b_{k}=b_{k-1}+t_{k-1},$
• $\,\,$$t_{k-1}=1,2,\ldots ,n-r+k-b_{k-1},$
• $\,\,$$k=1,2,\ldots ,r.$
• $\,\,$$b_{0}=0,$$\,\,$（定義）.

ここに，n，r，k，b_k は，すべて正の整数とする。

組合せ網羅漸化式

本稿では，上に示した式， b_k＝b_{k −1} + t_{k −1}， t_{k −1}＝1, 2, . . . , n − r＋k − b_{k −1}， k＝1, 2, . . . , r， b₀＝0 を組合せ網羅漸化式と呼ぶことにする。

researchmapの論文を参照のこと

繰り返しを許さない組合せの総数 C(n, r) は，

$\,\,\,\,\,$$C(n,\,r)={\frac {n!}{r!\,(n-r)!}}$

で与えられる。 この 繰り返しを許さない組合せ に関して，n と r を与えて，総数 C(n, r) 個の組合せ全てを算出する組合せ網羅漸化式が「researchmap」に報告されている。 論文タイトルは「繰り返しを許さない組合せの各組を全て算出できる数式」で，2018年12月12日付けで「researchmap」へ組合せ網羅漸化式に関する詳細な論文（PDFファイル，224KB，A4判，42頁）が提出され，公開されている。

数値計算による結果の例

「researchmap」で公開されている論文の数値計算に関する結果を以下に記述しておく。

組合せ網羅漸化式