（すべて複号同順）
となることを証明する。
△ A B C {\displaystyle \triangle ABC} において、 B C = a {\displaystyle BC=a} , C A = b {\displaystyle CA=b} , A B = c {\displaystyle AB=c} , ∠ C A B = α {\displaystyle \angle CAB=\alpha } , ∠ A B C = β {\displaystyle \angle ABC=\beta } , ∠ B C A = γ {\displaystyle \angle BCA=\gamma } とし、 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} の外接円の半径を R {\displaystyle R} とする。
正弦定理より、 a = 2 R sin α {\displaystyle a=2R\sin \alpha } ・・・① , b = 2 R sin β {\displaystyle b=2R\sin \beta } ・・・② , c = 2 R sin γ {\displaystyle c=2R\sin \gamma } ・・・③
第一余弦定理( c = a cos β + b cos α {\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha } )に① , ② , ③ の式を代入すると、 2 R sin γ = 2 R sin α cos β + 2 R sin β cos α sin ( π − α − β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β {\displaystyle {\begin{aligned}2R\sin \gamma &=2R\sin \alpha \cos \beta +2R\sin \beta \cos \alpha \\\sin(\pi -\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \end{aligned}}} ・・・④
④の式において、 β := − β {\displaystyle \beta :=-\beta } とすると、 sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β {\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }
したがって、 sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β {\displaystyle \displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta } ・・・⑤
⑤の式において、 α := π 2 − α {\displaystyle \alpha :={\frac {\pi }{2}}-\alpha } とすると、
cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β {\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta } ・・・⑥
tan θ = sin θ cos θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}} ・・・⑦
⑦の式に θ = α ± β {\displaystyle \theta =\alpha \pm \beta } を代入すると、
tan ( α ± β ) = sin ( α ± β ) cos ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos α cos β ∓ sin α sin β {\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\alpha \pm \beta )&={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos(\alpha \pm \beta )}}\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }}\end{aligned}}}
分母分子に 1 cos α cos β {\displaystyle {\frac {1}{\cos \alpha \cos \beta }}} をかけると、
tan ( α ± β ) = 1 cos α cos β ( sin α cos β ± cos α sin β ) 1 cos α cos β ( cos α cos β ∓ sin α sin β ) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β {\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\alpha \pm \beta )&={\frac {{\frac {1}{\cos \alpha \cos \beta }}(\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta )}{{\frac {1}{\cos \alpha \cos \beta }}(\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta )}}\\&={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}\end{aligned}}}
