２次方程式( a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} ) においての解の公式は、 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
特に、 b = 2 b ′ {\displaystyle b=2b'} ( a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0} ) においての解の公式は、 x = − b ′ ± b ′ 2 − a c a {\displaystyle x={\frac {-b'\pm {\sqrt {b'^{2}-ac}}}{a}}}
特に、 a = 1 {\displaystyle a=1} ( x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle x^{2}+bx+c=0} ) においての解の公式は、 x = − b 2 ± b 2 4 − c {\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}}}
となることを証明する。
a x 2 + b x + c = 0 a x 2 + b x = − c {\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx&=-c\end{aligned}}}
両辺に 4 a {\displaystyle 4a} をかけると、 4 a 2 x 2 + 4 a b x = − 4 a c {\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac} 両辺に b 2 {\displaystyle b^{2}} を加えると、 4 a 2 x 2 + 4 a b x + b 2 = b 2 − 4 a c {\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac} したがって、 4 a 2 x 2 + 4 a b x + b 2 = b 2 − 4 a c ( 2 a x + b ) 2 = b 2 − 4 a c 2 a x + b = − b ± b 2 − 4 a c x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac\\(2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac\\2ax+b&=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}} となり、2次関数の解の公式が導かれる。
また、解の公式において、 b = 2 b ′ {\displaystyle b=2b'} とすると、 x = − 2 b ′ ± ( 2 b ′ ) 2 − 4 a c 2 a = − 2 b ′ ± 4 b ′ 2 − 4 a c 2 a = − 2 b ′ ± 2 b ′ 2 − a c 2 a = − b ′ ± b ′ 2 − a c a {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {-2b'\pm {\sqrt {(2b')^{2}-4ac}}}{2a}}\\&={\frac {-2b'\pm {\sqrt {4b'^{2}-4ac}}}{2a}}\\&={\frac {-2b'\pm 2{\sqrt {b'^{2}-ac}}}{2a}}\\&={\frac {-b'\pm {\sqrt {b'^{2}-ac}}}{a}}\end{aligned}}}
また、解の公式において、 a = 1 {\displaystyle a=1} とすると、 x = − b ± b 2 − 4 c 2 = − b 2 ± b 2 − 4 c 4 = − b 2 ± b 2 4 − 4 c 4 = − b 2 ± b 2 4 − c {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}\\&=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4c}{4}}}\\&=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-{\frac {4c}{4}}}}\\&=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}}\end{aligned}}}
