Topic:個別の数学に関する議論/3次元デカルト座標系の描き方

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人によっては無意味、無意義な議論と感じられるかもしれませんが、自分にとっては意味があり、興味も感じた問題だったので、しばらく時間を費やして、考え、検討してみたのですが、それなりに纏まりを見せてきて形になってきたので、メモ代わりにここに、少しずつ書いておくことにします。

何を問題としているか[編集]

よく科学系、数学系の書物に見られる図版で、 x,y,z座標を示す為の直交する 3直線(矢印が付いている)で描かれた、直交座標系がありますよね。あれを紙の上に描く時、どう描くのが一番妥当なのかなーと、ある日ふと思ったのです。

まず大抵の多くの書物は、 y軸を右に伸ばし、 z軸を上に伸ばし、 x軸を左45°下に伸ばしている物が多いですよね。しかし思うに、中学校で初めて習った2次元座標から考えると、むしろ x軸を右に伸ばし、 y軸を右 45°上に伸ばし、そして z軸は同じく上に伸ばして書いた方がしっくり頭に入ってきやすいような気がする訳です。そこでそのことについての是非はともかく、今回の記述では、その方針で3次元直交座標系を描いていく事を考えていきます。

こう考えていきたい[編集]

そこで…、まず座標軸の描画上の矢印の長さですが、x:1,y:1/2,z:1 が妥当だと考えます。これが紙の平面上に描いた 3次元座標の絵、模式図ですね。先にも書きましたが、 y軸は x-z軸がつくる直角の2等分線です。

そこで今、同じ長さ 1 の直交する矢印の x-y-z立体座標系が空間上にあって、それを我々が眺めているとしましょう。これを透視投影、或いは視点が無限遠、画角が 0°になった平行投影で絵にしてみると、どうなるか。

まず、透視投影に関してはひとまず置いておいて,平行投影の図版を考えたいと思います。

まず2つの極図を考えます。ひとつは x-z平面を真正面から、平面に垂直な視線で見た図。これを平行投影で図版化します。これは x-z の2次元直交座標系になりますね。ここでx軸を軸にしてz軸を手前にθ rad 倒していく。倒した後、平行投影で、y軸が右上45°の位置に見えるように、z軸を軸にy軸(x軸でも同じ)を右にφ rad 回転させる。図版上のy軸が画面の中央点を通るなら、透視投影でもy軸は右上45°でしょう。そしてθが π/2 の時を,もう一つの極にします。この時平行投影では z軸は点になって見えなくなり、 y軸は右上、 x軸は右下、それぞれ 45°の位置になりますね。

ここでθが 0 からπ/2 に向かって大きくなっていく時、平面投影上の図では、z軸の長さは 1 から 0 に向かっていく。 y軸の長さは 0 から 1 に向かっていく。x軸の長さは、 1 からいったん小さくなった後、また 1 に戻っていく。

空間3次元座標上でこのx-y-z3軸の矢印座標系がθの変化とともにどう位置するようになるか[編集]

この議題に関して一気に結論を書きますが、x y z軸の矢印の先の点が、それぞれ(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)だとして、θの変化とともに、

x軸

( Sqrt(1/(Sin(θ)^2+1)) , -Sin(θ)Cos(θ)/Sqrt(Sin(θ)^2+1) , -Sin(θ)^2/Sqrt(Sin(θ)^2+1) )

y軸

( Sin(θ)/Sqrt(Sin(θ)^2+1) , Cos(θ)/Sqrt(Sin(θ)^2+1) , Sin(θ)/Sqrt(Sin(θ)^2+1) )

z軸

( 0 , -Sin(θ) , Cos(θ) )

になります。

平行投影で、描画上の z軸が描画上の y軸の2倍になるときのθは?[編集]

結論;

Sin(θ)^2=-4+Sqrt(17)

数値にすると θ=20.54017…°

この時 x軸は平行投影でどう見えるだろう?[編集]

x軸、矢印の先の座標。

(Sqrt(1/(Sqrt(17)-3)),-Sqrt(21-5*Sqrt(17))/2,(4-Sqrt(17))/Sqrt(Sqrt(17)-3))

我々が描こうとしている図版は、x軸は真右を向いているはずだが、これはやや下に下がっている。そしてこの x軸の先の点から右上45°に直線を引いてこれが x軸と交わる点のx座標が z軸の長さと等しいことが望ましい(平面投影上でね)のだが…。

Sqrt(Sqrt(17)-3))/Cos(θ) = 1.13171…

ここで 矢印の x軸の先の点のグローバル座標上での x座標値と平面投影上の z軸の長さとの比を求めると…

Sqrt(1/(Sqrt(17)-3))/Sqrt(5-Sqrt(17)) = 1.00766…

つまり実際の平面投影上の見かけの x軸の方がわずかに長いのですね。

そして平面投影上の x軸が下に下がっている角度を α と置くと、

α = 7.01812…° ですから、大きすぎることも無く,僅かに右下がりだという事ですね。

次に…[編集]

では、今は y軸の平面投影上の長さが z軸の平面投影上の長さの 1/2倍になるとして計算しましたが、 y軸の長さを x軸の長さにとって妥当になる様にθを求めるととどうなるでしょうか。この場合、前にも書きましたが、平面投影上の少し右下に下がった x軸の矢印の先の点から右上45°に直線を引いて、グローバル平面座標上のx軸と接する点のx座標、この値の1/2が平面投影上のy軸の長さになればいいと思います。そうすると…。

(1+Sin(θ)^2)^2 = 8*Sin(θ)^2

Sin(θ) = Sqrt(2)-1

θ= 24.46980…°

見かけの矢印 z軸と y軸の長さの比は

Cos()/Sqrt(2*Sin(θ)^2/(Sin(θ)^2+1)) = Sqrt(2*Sqrt(2)) = 1.68179…

平面投影上、 x軸が下に下がっている角度αは…

Atan(3-2*Sqrt(2)) = 9.73561…°

おそらく総体的に見て、上の項目の前者の方が我々が考える実像に近いと思います。

結語[編集]

つまり平行投影に限った話では、我々が x軸を真右に、同じ長さの z軸を真上に、右上 45°にその半分の長さの y軸を描いて3次元座標を図に描く時、20.54017…°見下ろし、やや右に回り込んだ(今回の文章上ではこの角度は求めませんでした。しかし数値を書いてしまうと 19.33414…°)図をイメージしていると、言う事ができる。これで少し、すっきりとした気持ちで、 x、y軸座標上に平行四辺形を作って、空間、立体をイメージすることができるのですが、どうせなら、透視投影についても考えて、話を一般化させたい気持ちもあります。そこで今後それを検討してみて、上手くまとまった場合はここに続きとして書きますが、計算が複雑すぎて手に負えなくなったなどの理由で、この続きは書かれない場合もあります。