Topic:微分積分学/研究
変分法について
[編集]以下の理論は、変分法を意識した仮説（かも？）である。
曲線の集団は曲面と見なすべきかも？
[編集]たとえば、曲線族 （曲線の集まりのことを曲線族という）
- ｙ（ｘ） = Cｘ （Cは任意定数） ・・・①
のような一変数の一次関数のあつまりをかんがえる。①式を説明すると、たとえば任意定数とは、定数関数なら、C=１でもC=2でも、C=１２５．３５でも何でもいいので、①式は
- ｛ ｙ = ０ｘ 、 y＝１ｘ 、 ｙ＝１．３ｘ 、 ｙ＝－４２ｘ 、・・・ ｝
のような、一変数の一次関数の集まりと考えることができる。一変数の一次関数は、常微分が可能なので、微分すると
- ｄｙ／ｄｘ ＝ C ＝ y´（ｘ）
である。Cが任意の値を取れるので、y´もCと同じ値であれば、任意の定数となる。
- C ＝ y´ より、
- ｙ ＝ Cｘ ＝ y´ｘ
である。 一方、ｙ = Cｘ はyの値が、Cの値とｘの値によって決まるので、ｙはCとｘを変数とする二変数関数 ｙ（ｘ、C） とも考えられる。二変数関数はグラフにあらわすと曲面になるので、つまり、 「曲線の集合は曲面を表せる」 と考えるべきである。 あるいは 「一変数関数の集合は、二変数関数として表現できる」 とかんがえるべきである。ｙ（ｘ、C）は
- ｙ ＝ Cｘ ＝ y´ｘ より、 ｙ（ｘ、y´）という二変数関数である。Cの値が、xとは独立に任意に取れて、Cを独立変数とみなしたのだから、C = y´ より、
- y´（ｘ）もｘとは独立な変数とみなさなければならない。つまり、「関数の集合では、ｘと、ｘを変数とする導関数は、お互いに独立である。」といえる。または
- ｙ ＝ y´ｘ ⇔ y´＝ x／ｙ
より、ｙ´（ｘ、y）という二変数関数を考えることもできる。 このように、曲線の集合を扱う計算では、１本の曲線を扱う計算とは違った現象が起こる。曲線の集合は曲面とみなせるので、偏微分も定義できる。 たとえば、ｙ ＝ y´ｘ をy´で偏微分すると、ｘとなる。 以上の議論は、一時間数の集合に限らず、２次関数の集合 ｙ＝ｃ・ｘ＾２ 、 三次間数の集合でも同類の議論ができて、一変数の関数の集合を二変数関数とみなすこともできる。 また、任意定数が２つ以上の場合も、同様の議論によって、一変数関数の集合を、他変数関数とみなせる。
変分法を意識して、作用素を仮定
[編集]グラフ上で関数 ｙ（ｘ）の形を動かして、別の形の関数を作ることを考える。 形を変えて新しく作った関数を Nｙ とかくことにする。このとき、関数の形を変える作用素を Ｎ とおく。 たとえば ｙ＝2x を変形させて y＝x－５ という関数を作った場合は、
- Ny＝ｘ－5 と書くする。
この場合の変動量は Ny－y である。これを
- （N－1）y
書くとしよう。
ｙ＝2x から y＝x－５ への変形の場合、変動量の計算には、代入をすればいいだけである。
- Ny－y＝（x－５）－（2x）＝－３ｘ＋５
なので、つまりｙを －３ｘ＋５ だけ動かせば、Ｎｙをつくれる。この関数を動かした量、Nｙ－ｙ を δｙとおくことにする。
つまり、定義より
- δ＝Ｎ－１
である。
いっぽう、 ｙ＝２ｘを微分すれば、ｙ´＝2 Ny を微分すれば、この問題でのNy＝ｘ－5 の条件の場合、
このとき、導関数は
- （Nｙ）´ －ｙ´＝－１－２＝－３
よって導関数はｙ´から－３だけ動いたことになる。 このとき、Ｄ（Ｎｙ）とは、
- ｙ＝２ｘ に Ｎ を作用させ、変化させた新関数 Nｙ ＝－ｘ＋５ を（ｘ、ｙ）平面上で作ってから、
Ｄで微分して、 微分されたＤ（Ｎｙ）＝（－ｘ＋５）´＝ －１を、（ｘ、ｙ´）上に持ってきたものである。
ここで、仮に、
- ＤＮｙ＝ＮＤｙ
- にするためには、どう設定すればよいか。
ＮＤｙの意味を考えると、これは、 微分と新関数作成の順序を変えてみて、 ｙを微分したＤｙ＝ｙ´＝（２ｘ）´＝２ を（ｘ、ｙ´）グラフ上に持ってきて、 この（ｘ、ｙ´）上の関数 Ｄｙ に Ｎを作用させて、
- Ｎ（Ｄｙ）＝－１ を得たものとも見ることができる。
つまり、関数ｙの導関数ｙ´を変化させるとき、ｙを変化させずに ｙ´ だけ動かすことは、普通はできないから、（ｘ、ｙ´）上の変化は、（ｘ、ｙ）平面上の変化と
- ＤＮ＝ＮＤ の関係で結ばれるとすればよいのである。
ともかく、作用素Ｎと微分作用素Ｄが、可換だとする。つまり、ＤＮ＝ＮＤだとする。 このとき δ＝Ｎ－１ と Ｄ も可換である。実際に
- Ｄ（δｙ） ＝ Ｄ（Ｎ－１）ｙ ＝ ＤＮｙ － Ｄｙ ＝ ＮＤｙ － Ｄｙ
- ＝（Ｎ－１）Ｄｙ ＝ δＤｙ
よって
- Ｄδ ＝ δＤ
- （説明、おわり）
（・・・という事らしい。昔、自分が書いた自主レポート（未発表）を元にしてるので、詳しいアイデアは忘れた。）
テイラー展開を元に、組み合わせ公式
[編集]たとえば4個のものの中から、2個を選ぶ組み合わせの場合を
- C（４、２）
とかくことにする。
この記法で組み合わせ公式を用いるとき、
- C（ｊ－1、ｉ－1）・（ａ＋ｂ）＾（ｊ－ｉ）
- ＝Σ（ｉ≦ｋ≦ｊ）｛C（ｋ－１、ｉ－１）ａ＾（ｋ－ｉ）｝｛C（ｊ－１、ｋ－１）ｂ＾（ｊ－ｋ）｝
が成り立ちそうである。
- 説明
まず、テイラー展開の普通の関数を考える。 たとえば、
- Ｙ＝Ｃ0＋Ｃ1・ｘ＋Ｃ2・ｘ＾２
をベクトル （C0．Ｃ1，Ｃ2）であらわす。 つまり、べき級数の係数をベクトルの成分にする。 このときYにたいする微分Dや差分⊿、代入、シフトEが、行列で表せる。 シフトEとは、
- E・Y（ｘ） ＝Y（ｘ＋１）
のことである。 差分⊿は
- ⊿Y（ｘ）＝Y(ｘ＋１)－Y(ｘ)＝EY（ｘ）－Y（ｘ）＝（E－1）・Y(ｘ)
である。 さて、シフト E の行列 M（ｉ，j） は、
- M（ｉ，j）＝Ｃ（ｊ－１、ｉ－１） ・・・（ｉ≦ｊ のとき）
その他
- Ｍ（ｉ，j）＝０ ・・・（その他のとき）
となる。 これは、パスカルの3角形と同じ配置である。
- Ｇ（Ａ）[Ｙ（ｘ）]＝Ｙ（ｘ＋Ａ）
という演算子Ｇ（Ａ）を考えると、このＧ（Ａ）をあらわす行列 Ｍ（ｉ、ｊ） は、
- M（ｉ，j）＝Ｃ（ｊ－１、ｉ－１）・Ａ＾（ｊ－ｉ）・・（ｉ≦ｊ のとき）
その他
- Ｍ（ｉ，j）＝０ ・・・（その他のとき）
となる。
- Ａ＝１のときは、Ｇ（１）はシフトＥと、同一になる。
さて、Ｇ（Ａ＋Ｂ）・Ｙ（ｘ） ＝ Ｇ（Ａ）・G(B)・Y(ｘ) なので、この関係を、行列で表したのが、冒頭に掲げた組み合わせの公式である。
テイラー展開からテンソルに
[編集]（既存研究が、あるかも？）
- テンソル積
関数の係数をベクトルと考えると、
- ｆ(ｘ) ＝ Ａ0 ＋ A1･ｘ ＋ A2･ｘ^2 ＋ A3･ｘ^3 ＋ ・・・
- ｇ(ｙ) ＝ Ｂ0 ＋ Ｂ1･ｙ ＋ Ｂ2･ｙ^2 ＋ Ｂ3･ｙ^3 ＋ ・・・
の積は、
- ｆ(ｘ)･ｇ(ｙ) ＝ Ａ0･Ｂ0 ＋ Ａ0・Ｂ1･ｘ ＋ Ａ0・Ｂ2･ｙ^2 ＋ ・・・
- ＋Ａ1･Ｂ0・ｘ ＋ Ａ1・Ｂ1・ｘ･ｙ ＋Ａ1･Ｂ2･ｘ･ｙ^2 ＋ ・・・
- ＋Ａ2･Ｂ0･ｘ^2 ＋ Ａ2･Ｂ1・ｘ^2･ｙ ＋ ・・・
・・・・・ のようになる。 ここで、たとえば一変数関数ｆ(ｘ)の係数をベクトルの成分と見たように、2変数関数ｆ(ｘ)･ｇ(ｙ)の係数を行列の成分と見る。この場合、行列の一番左上は０行０列目と見る。 たとえば
- Ａ1･Ｂ2･ｘ･ｙ^2 は1行2列目に対応し、ｘ･ｙ^2 を基底とする成分Ａ1･Ｂ2とする。
これはベクトル
- ａ ＝ （Ａ0、Ａ1、Ａ2、Ａ3、・・・）
- ｂ ＝ （Ｂ0，B1、B2、B3、・・・）
を使って、行列の転地ｔを用いて、
- （tａ）・ｂ の形にかける。
これは、テンソル代数でいうところのベクトルａ，ｂのテンソル積ａ〇ｂの計算と同じである。
- ｆ(ｘ)･ｇ(ｙ)・ｈ（ｚ）のような３変数以上の場合も、係数の積によって、定義する。
テンソルＴ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の第(Ｉ，ｊ，Ｋ)成分には、ｘ＾Ｉ・ｙ＾Ｊ・ｚ＾Ｋの係数Ai・Bj・Ck を使う。
- つまり、３つのベクトル ａ，ｂ，c のテンソル積 T = ａ〇ｂ〇c は
- Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）＝Ai・Bj・Ck である。
- まとめ
テンソルのもともとの由来は材料力学の計算からだが、とりあえず、それは無視して以上のようにテンソル積の計算を考えたほうが手っ取り早い。テーラー級数の積によるテンソル積の定義では、無限次元のベクトルや行列、テンソルを自然に導入できる。