√2が無理数であることの証明

証明

背理法を用いて、証明する。

${\sqrt {2}}$が有理数であると仮定する。この時、${\sqrt {2}}$は互いに素である数$p,q$を用いて、${\sqrt {2}}={\frac {q}{p}}$と表すことができる。

両辺を平方すると、$2={\frac {q^{2}}{p^{2}}}$となり、さらに、$2p^{2}=q^{2}$と変形することができる。

証明1

ここで、$p$は偶数であり、$p^{2}$は4の倍数である。すなわち、$q^{2}$も偶数になり、$q$は偶数になる。$p,q$が少なくとも2で割り切ることができてしまい、互いに素でなくなってしまう。ここで、最初の仮定が間違っていたことがわかる。

よって、${\sqrt {2}}$は無理数である。

証明2

両辺の素因数の個数を考える。

$p$は$m$個の素因数を、$q$は$n$個の素因数を持つと仮定すると、

両辺のの素因数の個数の関係は$2m+1=2n$と表される。

ここで、$n,m$のどちらかが整数でなくなり、これは、素因数の個数は整数個であることに反する。ここで、最初の仮定が間違っていたことがわかる。

よって、${\sqrt {2}}$は無理数である。

ここでは、素因数分解の一意性を用いている。なお、一般的に「小数個／分数個」ということはありえない。

補足

なお、ここでは${\sqrt {2}}$について考えたが、ルート内の数が素数である場合は同様に証明することが可能である。

補足 2

さらに判断を一般化して、素因数分解したときに素数の奇数乗を式に持つ自然数の平方根は無理数である。互いに素である整数の分数で示した正の有理数の分母と分子どちらでも素因数分解したときに素数の奇数乗を持っていればその有理数の平方根は無理数である。正の無理数の平方根は無理数である。これらの事実も同様の議論で証明できる。