トーク:幾何学の外へ

感想1[編集]

まあもはやみつひしさん，感想は欲しくないかもしれないけど…。

例えばマクスウェル方程式は，明らかに座標軸，系を考えないと扱えませんよね。そして現実に多くの電磁気の問題に解答を与えることができるわけでしょ？詳しくは知らないけど，水素原子をシュレーディンガー方程式で扱う場合もまず，質量を持ったプラスの点とマイナスの点から考え始めるんじゃあなかったかなー。特殊相対論は，二つの等速で離れる3次元座標系を考えているだろうし…。ひも理論とかそんな話になっても，やはり系の中で点の代わりに線があったり，面があったりするのだろうし，3次元系を考えるのはやめようなんて何の話かね？

まあ三次元系の構成自体をグレードアップすることはできるかもね。より複雑で不可思議な構成にね。でもそれって哲学なの？物理学でもない。と，いうかなんか抽象的過ぎて，ほんとに空理空論語っているようにしか見えないな。夢の中で遊んでいるようにしか見えないよ。もうちょっと具体的にわかりやすい面白い数学的な記述があるんなら，もう少し興味持つけど…--Honooo (トーク) 2022年2月3日 (木) 15:34 (UTC)[返信]

うーん，例えば私が聞いたことのある話では，重力というのは，系，時空自体のゆがみから発生するとか…。しかしこの辺の話を具体的な数理がないまま言葉でいろいろ言ってもあまり意味はない気がするな…。やっぱり疑問なのは，これって哲学なの？この話をするなら，物理学として，数学として具体的に記述するのが唯一の正解だと思うけど…--Honooo (トーク) 2022年2月3日 (木) 15:51 (UTC)[返信]

んーしつこいようだけど，観測対象と観測機器が同じ物で構成されているというのを疑っている人はあまりいないんじゃあないの？そもそも系で物事を考えているのは，観測対象と観測機器の完全に外側，神様の目で世界を鳥瞰しているんだよね？だから系を考えているときは，自分自身もその中にいるはずなんだけど…--Honooo (トーク) 2022年2月3日 (木) 16:05 (UTC)[返信]

ある人は「調べる材料とナイフの刃の厚みが同じだからどんな実験もできない」と言いました。その人は超ひも理論を「仲間内の気晴らし」に過ぎないとも言いました。--みつひし (トーク) 2022年2月4日 (金) 02:38 (UTC)[返信]

複雑系は「哲学的なブレイクスルーでもある」と言われていますので、この話題にも何かないかなーと思った次第です。--みつひし (トーク) 2022年2月4日 (金) 02:43 (UTC)[返信]

でも気晴らしは大事だよね。結局科学だって哲学だって我々主体がすることだから…。昔数学基礎論が様々なパラドックスで揺らいだ時，ラッセルのパラドックスが提出されたときに，あまりにも明確に矛盾を示していたので，数学者たちがいよいよこれは何とかせねば，と，重い腰を上げたって聞いたことがある…。

みつひしさんは，文系の哲学系ってことでいいんですか？--Honooo (トーク) 2022年2月4日 (金) 14:25 (UTC)[返信]

うーん、文系の哲学系。だったら何ができるはずだとか、だったら何はできて当たり前だとか、そういうたぐいのことに関して、何になら責任が負えたか、というと、本業としてはプログラミングのはずでしたね。今でもそうしとかないと何かあったときにボロが出そう。--みつひし (トーク) 2022年2月5日 (土) 07:46 (UTC)[返信]

そうですか…。基本的にネット上では個人的な出自，誰もが明らかにしたくないですよね。昔「ハッカーの報酬」という文庫本を読んだのですが，そこで主人公の協力者に，オンラインでしかやり取りしない詳細不明の謎のハッカーっていう登場人物がいましたね。なんとなく私は，そういう人物に憧れている節はある…--Honooo (トーク) 2022年2月5日 (土) 08:13 (UTC)[返信]

感想2[編集]

あっ、それは面白い話かもしれない。最も私自身はそんなにみつひしさんの論旨は理解していませんが…。

以前話した相対論ですが、私自身は詳しく勉強したい気はあるのですが、なんだかんだ他にやることもあるので、結局死ぬまでにそれほど学習の機会作らないと思っているのですが、よく言われることで、

「すべての事象は相対的、よって絶対空間などない」

というのがありますよね。ただ私のそれほどない知識で考えてみると、平行運動はすべて相対的に扱えるけど、回転運動は無理なのではないかと思う訳です…。

つまり回転に関しては何らかの絶対宇宙、絶対基準を考えるしかないのでは…、と。

というのはそうしないと、潮汐やコリオリ力の説明ができないのでは?、と、思う訳ですね。

みつひしさんの主張では、「万物の根源は角運動量である」ということですが、この辺角運動量とは何かからスタートして、数学的に数式も使ったうえで議論してくれると、今後面白く読めそうですけどね…。--Honooo (トーク) 2022年9月24日 (土) 01:32 (UTC)[返信]

ああっと、それは言えてますね、確かに。

俺としては「素粒子でなく、素角度量を考えよう。素角度量には位置すらない」ということが言いたくて、それに対して「回転するなら絶対的な系が必要では？」と言われると「正直、考えてなかった」というのが返事になります。たぶん位置に位置用の系があるように、角度には角度用の系があるはず、という方向で探るべきなんでしょうね。--みつひし (トーク) 2022年9月24日 (土) 02:18 (UTC)[返信]

うーん、正直みつひしさんの見ていることや考えている事は、私自身はそれほど理解していないと思いますが、とにかく回転には何かある、という気持ちはありますね。

例えば角運動量を少し数学的に扱うと、このページでは否定された三次元系や質点を使ってしまいますが、デカルト三次元系の原点Oの周辺を質量m の質点が運動しているとして、3次元幾何ベクトルの時間t に関する関数、r(t)を考える事が出来る。ここで角運動量は、r と質点の速度の外積に質量m をかけた m*(r(t)×dr(t)/dt)で時間t に対応する3次元幾何ベクトルの関数ということになりますね。

むしろこの角運動量の時間に対する関数の方がより本質的な物理量ということですかね…

まあちょっと数学的に考えると安心できるので、やってみただけなんですが…。

どっちにしろ相対論や素粒子の話は難しすぎて手におえないですね、いずれは少しはさわりぐらい勉強したいけど…。--Honooo (トーク) 2022年9月24日 (土) 06:36 (UTC)[返信]

角運動量とくれば位置と角度は両方出てきますよね。この、位置と角度の主従を逆転させたいわけです。(x, y, z)はあるのに角度だけの3次元量がないのはなぜだ、と子供みたいなことを考えてみるわけです。角度だけの世界があって、そこには「等速直線運動」に相当するものがあったりはしないのか、と。--みつひし (トーク) 2022年9月24日 (土) 08:06 (UTC)[返信]

角度は二次元量ですね。球面に一点取ると示せる。これにもう一つ実数、球の半径があると三次元の位置を示す。しかし三次元量も二次元量も実数そのものも、無限集合としては実数濃度。だからパラメータ3つよりも二つの方が良かったりしてという主張かもしれませんね。しかし私の方はそろそろコメント終了です。これ以上やると雲や霞を食べる話になりそうで…。でも私も回転には何かあるなとは凄く思う…--Honooo (トーク) 2022年9月24日 (土) 17:39 (UTC)[返信]

誰でもわかるように説明できてしまいますからね、この問題。

直方体で考えます。縦、横、高さ。3次元です。
円筒で考えます。半径、角度、奥行。3次元です。
球で考えます。半径、角度A、角度B。3次元です。
角度が3つ。3次元です。いったいどのようなものがでしょう。

--みつひし (トーク) 2022年9月25日 (日) 05:54 (UTC)[返信]

それはもうこのページの最初の議論に戻りますね。まあ思索としては、点より面、面より立体、或いは角度の集まりを世界の構成要素としたいですが、実用的には、数理や物理としては、点の集まりで考えるのがすごく便利なんですよ。場合によっては点の数は無限個になりますし、それより複雑な世界は扱いづらい。だから私としてはみつひしさんがこの話を継続するなら、具体的な数理を示してほしいですね。--Honooo (トーク) 2022年9月25日 (日) 07:23 (UTC)[返信]

じゃあ脱線ですがHonoooさんの好みそうな話をしましょう。昔、知り合いで「球体の内部では重力はどうなっているか」という疑問を抱き、自力で積分してみた人がいました。その人は「直感では球体の中心では受ける重力はゼロになると思うが、積分計算が間違っていなければ無限大になってしまう」と悩んでおられました。これはお分かりいただけるでしょうか。要するに中心点以外の質点から受ける重力はすべて相殺されるが中心の質点との距離がゼロだからそれだけで受ける重力は無限大になってしまうわけです。質点という概念が破綻を迎えている一つの例だと思ってください。--みつひし (トーク) 2022年9月25日 (日) 08:41 (UTC)[返信]

うーん、その話はいろいろな点で反論できるんだけど、まず我々の普通の実数体系では、無限大という数はないんです。これは昔からたくさんの数学者が言っていたことで、無限大にいたる点では関数の値は無いと見る。そしてもう一つ、重力はベクトルですよね? 自分がいる点から受ける力の方向は?ベクトルを積分するからこそ、値が相殺されると言えるんですよ。--Honooo (トーク) 2022年9月25日 (日) 09:00 (UTC)[返信]

あともう一つ、質点の質量の単位は Kg ですが、地球内部の点の質量は Kg/m^3 ですよ、密度なんですね。--Honooo (トーク) 2022年9月25日 (日) 09:09 (UTC)[返信]

その積分式見てませんけど単に重力は距離の2乗に反比例するので距離が0だと無限大になっちゃうんじゃないですかね。--みつひし (トーク) 2022年9月25日 (日) 09:35 (UTC)[返信]

だから無限大という数はないから、距離がゼロでは関数は定義されていないと見る。--Honooo (トーク) 2022年9月25日 (日) 09:36 (UTC)[返信]

難しいですね、私としては質点ではなくて、幾何学上の点にこだわっている。昔聞いた話では、ヒルベルトがユークリッドの幾何学をアップグレードしたらしいけど、私自身の学習としては、空間を点の集まりとみると一番理解しやすい。このページは幾何学の外へということだけど、要するに幾何学の勉強はしないという宣言にも聞こえるね。勿論しないならしないでいいけど、しないなら幾何学の話はできない。哲学の話をしたいなら、既存の哲学の勉強も必要だろう。数学物理哲学をつまみ食いしつつ、妄想だけを楽しむというのはあまりいい事だとは思えない。--Honooo (トーク) 2022年9月25日 (日) 09:43 (UTC)[返信]

あともう少しだけ補足しておきますが、まず無限大に発散する点を含む積分が一定の数になることは数学的事実としてあります。これは微分が一定の関数値で無限大に発散する関数があることでわかります。もう一つ、球体内部の重力はベクトルを体積で積分することで普通に計算可能です。一様な密度を持つ球の中心の重力は数学的事実としてゼロです。--Honooo (トーク) 2022年9月25日 (日) 16:29 (UTC)[返信]

それこそ数式見せてください。普通に体積で積分した結果の。半径rの何乗かが分母に現れるんだろうなと勝手に想像しているだけですので。--2022年9月25日 (日) 17:24 (UTC)--みつひし (トーク) 2022年9月25日 (日) 17:24 (UTC)[返信]

わかりました^^

ではしばらく待ってください。すぐには無理なので。大体一週間以内くらいかな。--Honooo (トーク) 2022年9月25日 (日) 17:33 (UTC)[返信]

↑上の宿題の答え[編集]

とりあえず数式のみ。詳しい事はまた後で書きます。勿論現段階では間違いあるかもしれない。

(Gpm\int _{-R}^{R}\int _{-{\sqrt {R^{2}-z^{2}}}}^{\sqrt {R^{2}-z^{2}}}\int _{r-{\sqrt {R^{2}-z^{2}-y^{2}}}}^{r+{\sqrt {R^{2}-z^{2}-y^{2}}}}{\frac {x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}dxdydz,Gpm\int _{-R}^{R}\int _{-{\sqrt {R^{2}-z^{2}}}}^{\sqrt {R^{2}-z^{2}}}\int _{r-{\sqrt {R^{2}-z^{2}-y^{2}}}}^{r+{\sqrt {R^{2}-z^{2}-y^{2}}}}{\frac {y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}dxdydz,Gpm\int _{-R}^{R}\int _{-{\sqrt {R^{2}-z^{2}}}}^{\sqrt {R^{2}-z^{2}}}\int _{r-{\sqrt {R^{2}-z^{2}-y^{2}}}}^{r+{\sqrt {R^{2}-z^{2}-y^{2}}}}{\frac {z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}dxdydz)

--Honooo (トーク) 2022年9月25日 (日) 22:05 (UTC)[返信]

ダメ元で「球体内部万有引力」で検索してみたんですがあっさりやってる人いますね。球体でなく球殻で考えると、球殻の外では普通の万有引力が働き、内側ではゼロという結果で、球殻の重ね合わせであるところの球体は、球体内部ではその半径よりも内側からしか重力を受けない、よって中心点では重力はゼロ、という論旨のようです。地球貫通トンネルの単振動の話もしてるのでそれらしくはあります。直感では球殻の内部で質点が中心点から外れると球殻に向かって「落ちる」ことはないのかと思うんですがちゃんと計算した結果のようなので本当なんでしょうね。要するに球殻の内部は無重力と。--みつひし (トーク) 2022年9月26日 (月) 06:40 (UTC)[返信]

いや、中心点に向かって落ちると考えるのが正解でしょう。中心点だけが重力ゼロのはずです。中心点から外れた点から球をレンズのように切り取ると、どう見ても中心点に向かって、質量が偏っている。後々上の式を検討しますが、密度pで半径R の球体の中心から、r離れた点において質量m の質点が受ける力を、ベクトルとして書いています。そしてこのr は、半径より小さくても大きくてもいい。多分式自体は間違っていないと思いますが、G は万有引力定数で…、まあでも後々考えていきます…--Honooo (トーク) 2022年9月26日 (月) 15:20 (UTC)[返信]

参考にしたのはここです。球殻だと内部は無重力。球体だと確かに中心に向かって落ちる。

https://physnotes.jp/mechanics/shell_theorem/--みつひし (トーク) 2022年9月26日 (月) 17:48 (UTC)[返信]

あっ、なるほど。このサイトは絶対的に正しいですね。このサイトの著者の方が私よりはるかに物理学について理解していますよ。うーん、じゃあこの問題は解決ですね。本当は自分自身の積分の勉強も兼ねて、上の式（これも正しいと思うけど…）を一般式に計算しようと思っていたんですが、その必要ももう感じませんね。球殻の内側の中心を外していても、近い表面は少ないし遠い表面は多いから、妥当な結論であり定理だと思います。--Honooo (トーク) 2022年9月26日 (月) 20:18 (UTC)[返信]

話を元に戻すと[編集]

直方体で考えます。縦、横、高さ。3次元です。
円筒で考えます。半径、角度、奥行。3次元です。
球で考えます。半径、角度A、角度B。3次元です。
角度が3つ。3次元です。いったいどのようなものがでしょう。

数理ならぬ、形而上的な言い草でよければ「半径という概念に、どこを中心とした回転かが内在されている」と言う事もできます。そしてこの考えを経由すると、角度が3つというのは「原点を中心とした任意の半径の3次元角度量」と言えるかもしれない。これは容易にn次元に拡張することができ、これこそはユークリッド空間並みに基礎的かもしれない、ということになります。--みつひし (トーク) 2022年10月10日 (月) 10:50 (UTC)[返信]

これって単に4次元の位置ベクトルの、半径から余った角度が3つってことなんですかね。一般にn+1次元のユークリッド空間とn次元の角度量空間が1対1で対応？--みつひし (トーク) 2022年10月10日 (月) 15:03 (UTC)[返信]

そうですね…みつひしさんには悪いけど、私自身はこの話にはもうあまり興味持てなくなっていますね…。例えばタンジェントを使うと、角度は距離にできますよ。そう考えると距離と角度の違いって、-∞<x<+∞ なのか、-π/2<θ<π/2 なのかぐらいで、しかもこれは両方とも実数濃度の無限集合ですし…--Honooo (トーク) 2022年10月10日 (月) 16:02 (UTC)[返信]

ありがとう。俺としてもかなり満足です。「角度に次元を見出す」ことには成功したわけですし、何かあったらこれが使えるというか少なくとも大きなヒントになる。「幾何学の外へ」という点でも十分です。--みつひし (トーク) 2022年10月10日 (月) 18:07 (UTC)[返信]

追記。長さを用いずに角度のみで物理量を表す野望は潰えました。ならば簡単。宇宙が例えば10次元なら半径が1つと角度が9つとみなすこともでき、もちろんこれを10次元の直角座標に変換することも可能。何も新しくない。ただ、「宇宙は超球で半径以外はすべて角度量」という文言はどこか魅力的。--みつひし (トーク) 2022年10月13日 (木) 06:21 (UTC)[返信]