組み合わせ理論 規則的な木構造の扱い方

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木構造の正しい扱い方[編集]

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内部頂点の数と葉の数[編集]

木構造Aの枝(内部頂点という)と葉(頂点という)に感する問題。 内部頂点の数が一定なら、頂点の数が一定に収まることの証明。

一見違うように見える木Aと木B、しかし内部頂点の数も頂点の数も同じである。 この性質は木を取り扱う理論では極めて重要な要素を含んでいる。 なぜこうなるのかの証明を行う。

  • 木Aと木Bの図準備中

木Aの内部頂点(枝)を切り取って木Aの頂点(葉)に接木する操作を繰り返すことによって、木Aを木Bに変形できる。 このとき内部頂点を切り取って頂点に接木することによって、木全体の頂点が一つ減る。 切り取った内部頂点の親が子をひとつしか持たない場合、木全体の頂点の数は変わらない。 接木を内部頂点に行う場合頂点の数は不変となる。 頂点を切り取った場合、どこに移動しても頂点の数は変わらない。 この性質が、木構造にかんする数学の基本となる。 変形操作を基準にした頂点の数による木の分類である。


頂点の数が増えることを水が低いほうに流れるイメージで扱うとすると、一番上にある木構造は棒であり、一番下にある木構造は根の下がすべて葉になっている構造となる。 ここでは上から規則的に、棒を木に崩していく作業を解説する。


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