２倍角公式の証明

証明

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$

$\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$

となることを証明する。

加法定理より、

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$

したがって、

$\begin{array}{cc}\sin 2\theta & =\sin (\theta +\theta )\\ & =\sin \theta \cos \theta +\cos \theta \sin \theta \\ & =2\sin \theta \cos \theta \end{array}$

$\begin{array}{cc}\cos 2\theta & =\cos (\theta +\theta )\\ & =\cos \theta \cos \theta -\sin \theta \sin \theta \\ & ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \end{array}$

$\begin{array}{cc}\tan 2\theta & =\tan (\theta +\theta )\\ & =\frac{\tan \theta +\tan \theta }{1-\tan \theta \tan \theta }\\ & =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }\end{array}$