Topic:数と式/数と集合/集合

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集合学は、数学の重要な一分野です。集合とは、ものや数字の集まりのことで、その集合を形成する個々のものを要素と言います。また、集合は命題と証明という分野にも関わります。以下に、集合に関しての説明、例や問題をのせました。

集合[編集]

√2が無理数であることの証明[編集]

ある数が無理数であるかどうかの性質を無理性(むりせい、irrationality)といいます。 の無理性の証明はいくつか知られていますが、ここでは背理法による証明を試みます。そのためにまず、次の補題を対偶による証明を用いて証明します。対偶は、先ほど図で説明した通り、その命題の真偽と一致します。

補題

m を整数とする。

が偶数ならば、m は偶数である。
補足
整数 m, n が 1 以外の公約数をもつと仮定すると、分数 は約分してより簡単な分数に直すことができます。そのため、m, n は 1 以外の公約数をもたず、 は約分できない分数であると仮定したのです。このように、1 以外に公約数をもたない整数 m, n互いに素(たがいにそ、coprime)であるといいます。互いに素な整数 m, n を使って表される、これ以上約分できないような分数 は、既約分数(きやくぶんすう、irreducible fraction)といいます。