Topic:数と式/数と集合

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この教材はTopic:高校の数学の一部です。

数と集合[編集]

2つのりんご

「りんごが1つ、りんごが2つ、りんごが3つ」のように、ものの数を数えるときに使う 1, 2, 3, 4, 5, ... という数を、自然数(しぜんすう、natural numbers)といいます。

自然数はりんごの数を数えたり、りんごの数を計算したりするのに使うことができます。自然数はまさに自然に存在し、人間が自然にイメージできる数といえます。

  • 1 + 1 = 2
  • 2 + 3 = 5
  • 3 + 5 = 8

このような自然数どうしの足し算は、自然数の中に答えを見つけることができます。しかし、

  • 1 - 1 = 0
  • 2 - 3 = -1
  • 3 - 5 = -2

このような自然数どうしの引き算の答えは、自然数 1, 2, 3, 4, 5, ... の中にはありません。

そこで、何もないことをあらわす 0 という数と、0 より小さいことをあらわす -1, -2, -3, -4, -5, ... のような負の数を自然数につけくわえることによって、これらの引き算の答えを考えることができます。

..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

または

0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ...

これを整数(せいすう、integers)といいます。整数は正の整数(せいのせいすう、positive integers)1, 2, 3, 4, 5, ... と、0 と、負の整数(ふのせいすう、negative integers)-1, -2, -3, -4, -5, ... からなっています。自然数とは、正の整数 1, 2, 3, 4, 5, ... のことです。

定義(正負の数)

0より大きい数を正の数(せいのすう、positive numbers)、0より小さい数を負の数(ふのすう、negative numbers)という。

補足
0は正の数でも負の数でもない。

整数どうしの掛け算の答えは、必ず整数になります。

  • 1 × 1 = 1
  • (-1) × (-1) = 1
  • 2 × 3 = 6
  • 2 × (-3) = -6
  • 0 × 5 = 0

それでは、以下のような整数どうしの割り算の答えは、整数になっているでしょうか。

このようなことから、整数全体の集まりに小数や分数をつけくわえて、足し算、引き算、掛け算、割り算の四則計算が自由に行える、もっと大きな数の集まりを作ることが考えられます。

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